Анализ точечных диаграмм результатов многократных измерений одной и той же физической величины (серии измерений) является сравнительно простым и достаточно эффективным средством выявления и оценки погрешностей. Он позволяет выявлять и оценивать переменные систематические и случайные составляющие погрешности измерений и отбраковывать результаты с явно выраженными грубыми погрешностями.

Точечную диаграмму строят в координатах «результат измерения (наблюдение при измерении) X – номер измерения n». При построении диаграммы из технических соображений по оси ординат обычно предпочитают откладывать не сами результаты измерений, а их отклонения от некоторого условного значения. Масштаб желательно выбрать таким, чтобы размах R результатов измерений на диаграмме можно было оценить двумя значащими цифрами.

Идеальная точечная диаграмма серии измерений должна представлять собой ряд точек, располагающихся на одинаковой высоте, которая соответствует истинному значению измеряемой физической величины Q (рисунок 7.1).

Постоянная систематическая погрешность вызывает только эквидистантное смещение экспериментальной тенденции относительно идеальной, а характер тенденции при этом не меняется. Поэтому делать какие-либо выводы о постоянной составляющей погрешности в серии измерений по точечной диаграмме нельзя. Можно только высказать предположение о наличии такой погрешности на основании постулата об обязательном присутствии в погрешности измерения систематической составляющей, которая в лучшем случае будет пренебрежимо мала по сравнению со случайной составляющей.

Тенденция изменения результатов измерений в серии может быть вызвана только наличием систематической переменной погрешности определенного вида, следовательно, при наличии точечной диаграммы появляется возможность качественного описания такой погрешности, которое может быть дополнено некоторыми количественными (числовыми) оценками. Наличие значимых случайных составляющих погрешности в каждом из наблюдений затрудняет анализ диаграммы, однако достаточно продолжительные серии, как правило, позволяют выявить тенденции, если они имеют место.

Тенденции изменения результатов в сериях измерений, проявляющиеся на точечных диаграммах, представлены на рисунке 7.2 (7.2а – наклон, 7.2б – мода, 7.2в – гармонические изменения аппроксимирующей линии).

Наличие закономерностей изменения результатов свидетельствуют о присутствии в серии переменных систематических погрешностей. Характер таких погрешностей в первом приближении можно оценить по виду наблюдаемой тенденции изменения результатов (монотонно возрастающие или убывающие, переменные с одним или несколькими экстремумами…), для оформления которой используют аппроксимирующие линии. Аппроксимацию, как правило, осуществляют простейшими линиями: прямой, участком дуги окружности или параболы, для периодических изменений – чаще всего синусоидой (косинусоидой).

Отклонения результатов от аппроксимирующей линии могут рассматриваться как случайные составляющие погрешности измерения. Если отклонения результатов от аппроксимирующей линии полагают случайными, их оценивают предельными (максимальным) значениями – либо одним (максимальным по модулю), либо двумя (максимальными верхним и нижним с учетом знака). Значения отклонений определяют в направлении оси ординат точечной диаграммы с учетом масштаба. Сумма модулей двух максимальных отклонений (верхнего и нижнего) составляет размах случайных отклонений, который чаще всего используют для ориентировочной оценки случайной составляющей погрешности измерения. Более представительной оценкой принято считать среднее квадратическое значение отклонений, которое рассчитывают с использованием статистической обработки всех значений отклонений в серии.

Следует помнить, что точечная диаграмма не является графиком результатов измерений, поскольку по оси абсцисс не откладывают аргумент какой-либо функции. Любая тенденция изменения результатов свидетельствует только об изменении во времени аргументов, вызывающих переменные систематические погрешности измерений, причем сам аргумент по точечной диаграмме выявить невозможно. Проведение аппроксимирующей линии и оценка тенденции и отклонений от нее осуществляются на основе предположения (допущения) о равномерном изменении аргумента от измерения к измерению, что приводит к закономерному изменению результатов. Такое допущение накладывает определенные ограничения на методику проведения серии многократных измерений одной и той же физической величины. Обязательными условиями являются неизменность самой измеряемой физической величины и методики выполнения ее измерений. Наблюдения следует проводить через примерно одинаковые промежутки времени без перерывов для сохранения постоянства условий в широком смысле, включая не только поддержание влияющих величин в нормальной или рабочей области значений, но и психофизиологическое состояние оператора. Серию не следует продолжать до явного утомления оператора, а его замена может привести к фактическому получению второй серии.

Многократные измерения одной и той же физической величины с использованием одной методики выполнения измерений позволяют численно оценить сходимость измерений внутри серии. Высокая сходимость результатов отражается на диаграмме отсутствием тенденций изменения результатов и малыми случайными отклонениями от аппроксимирующей линии.

В качестве первичной оценки погрешности измерений в серии, включающей систематическую и случайную составляющие, может быть использован размах результатов многократных измерений (рисунок 7.3)

R′ = Xmax – Xmin.

Чтобы получить геометрическое представление размаха R′ результатов измерений в серии, следует провести две прямые, параллельные оси абсцисс, через самую верхнюю и самую нижнюю точки точечной диаграмме.

Размах R' включает в себя как рассеяние результатов из-за случайной составляющей погрешности измерений, так и переменную систематическую составляющую погрешности (при ее наличии), вызывающую закономерное изменение результатов во времени. Для того чтобы можно было отдельно рассматривать влияние на измерения детерминированных и стохастических воздействий, из результатов измерений исключают систематические составляющие погрешностей. Такую операцию называют «исправлением результатов измерений», а результаты измерений после исключения из них систематических погрешностей считают «исправленными». В соответствии со сказанным, следует различать размахи «неисправленных» R' и «исправленных» R результатов измерений.

Полное исправление результатов требует абсолютной строгости в определении систематических составляющих погрешностей каждого из результатов измерений, что невозможно осуществить с помощью точечной диаграммы. Даже если принятые при ее построении допущения соответствуют реальной ситуации, постоянная составляющая систематических погрешностей всегда остается невыявленной. Однако с использованием точечной диаграммы можно осуществить «частичное исправление» результатов измерений. Для этого на экспериментальные точки накладывают аппроксимирующую линию, которая отражает изменения результатов из-за систематических погрешностей. Если считать, что отклонения результатов от построенной тенденции их изменения вызваны собственно случайными составляющими погрешности, можно перейти к их количественной оценке.

В этом случае делается допущение, что аппроксимирующая линия полностью отражает систематические изменения результатов (линия «текущего среднего значения»), а отклонения от этой линии рассматривают как случайные составляющие погрешности каждого из наблюдений. Числовые оценки отклонений определяют по точечной диаграмме с учетом ее масштаба. Предложенный прием позволяет разделить и наглядно представить на диаграмме систематические и случайные составляющие погрешности измерений.

Для оценки размаха R «исправленных» результатов измерений, который отражает рассеяние результатов из-за наличия только случайной составляющей погрешности, с помощью диаграммы исключают влияние переменной систематической составляющей погрешности. Размах R (рисунок 7.4) определяют как расстояние между двумя линиями, проведенными эквидистантно аппроксимирующей линии через две наиболее удаленные от нее точки, а его значение рассчитывают с учетом масштаба точечной диаграммы.

Описанное «исправление» результатов измерений названо частичным, поскольку неизвестное (и потому отсутствующее на диаграмме) истинное значение измеряемой величины искусственно заменяется некоторым «текущим средним значением». «Текущее среднее значение» воспроизводится на диаграмме аппроксимирующей линией, учитывающей влияние переменной части систематической погрешности.

Точечная диаграмма результатов многократных измерений физической величины, полученных с помощью одной методики выполнения измерений, не дает представления о значении постоянной систематической погрешности. Диаграмма одной серии не содержит достаточной информации для такого анализа из-за отсутствия «опорного значения», которым можно было бы заменить истинное.

Анализ результатов измерений каждой отдельной серии обычно начинают с выявления тенденции изменения результатов измерений и ее качественной оценки. Затем на диаграмму наносят аппроксимирующую линию, соответствующую характеру изменения результатов серии. При анализе диаграмм могут встретиться три варианта:

- серия без тенденции изменения результатов;

- серия без явно выраженной тенденции изменения результатов;

- серия c явной тенденцией изменения результатов.

Первый вариант свидетельствует об отсутствии в серии переменной систематической погрешности, диаграмму аппроксимируют прямой линией, параллельной оси абсцисс. Такая аппроксимация свидетельствует о наличии в серии постоянной систематической составляющей погрешности, значение которой оценить невозможно (это может быть значимая либо пренебрежимо малая погрешность).

При отсутствии в серии явно выраженной тенденции изменения результатов ее также как и в первом варианте аппроксимируют прямой линией, параллельной оси абсцисс.

Для аппроксимации диаграмм третьего варианта по возможности выбирают наклонные прямые линии (линейно прогрессирующее в сторону увеличения или уменьшения изменение результатов) или простейшие кривые линии в виде параболы, дуги окружности, синусоиды (прогрессирующее изменение с затуханием, модальное или периодическое изменение результатов). При любой аппроксимации обязательно будут наблюдаться несовпадение результатов и аппроксимирующей линии. Отклонения могут быть вызваны объективными причинами (наличие случайных погрешностей в результатах измерений), или несоответствующей аппроксимацией результатов (неправильный характер и расположение аппроксимирующей линии). Успешность выбора аппроксимирующей зависимости и ее наложения на экспериментальные точки зависит от числа наблюдений и опыта исследователя. Можно проводить аппроксимирующие линии выбранного вида с использованием математических методов (например, метода наименьших квадратов), но точность и достоверность результатов при этом практически не повышается. Поскольку сами погрешности имеют малые значения, а анализ точечных диаграмм основан на допущениях, не обеспечивающих высокий уровень строгости, незначительные погрешности аппроксимации, как правило, имеют второй порядок малости и «погрешности оценки погрешностей» не приводят к существенному искажению результатов исследования.

Чаще всего аппроксимация простейшими линиями оказывается достаточно эффективной, но не исключаются и возможные уточнения, например использование параболы или экспоненты для описания участка прогрессирующих данных или наложение синусоиды на наклонную прямую линию. Однако при этом следует иметь в виду, что стремление к высокой точности в подборе аппроксимирующей линии не имеет смысла, поскольку не гарантирована строгость соответствия точечной диаграммы допущениям, положенным в основу ее построения. Как показывает опыт анализа точечных диаграмм, незначительные различия при моделировании систематических тенденций разными исследователями при оценивании погрешностей приводят к расхождениям второго порядка малости и не оказывают значимого влияния на результаты таких числовых оценок как среднее квадратическое отклонение.

Примерами серий с очевидными тенденциями можно считать точечные диаграммы на рисунке 7.2. На рисунке 7.2а просматривается тенденция увеличения результатов, которую проще всего аппроксимировать прямой линией. Такая тенденция свидетельствует о наличии в результатах прогрессирующей систематической погрешности линейного характера. Тенденция на рисунке 7.2б – немонотонная, результаты сначала увеличиваются, затем после достижения максимума уменьшаются, что позволяет предложить аппроксимацию дугой окружности или участком синусоиды. Немонотонное изменение результатов может свидетельствовать о наличии периодической систематической составляющей, однако для уверенного заключения об этом экспериментальных данных явно недостаточно. Зато на рисунке 7.2в очевидно просматривается периодическая тенденция, которую можно аппроксимировать косинусоидой в 3/4 периода.

После проведения аппроксимирующей линии визуально оценивают экстремальные отклонения от этой линии. При наличии одной или нескольких точек, явно выпадающих из общей тенденции, делается отрицательное заключение об их принадлежности исследуемому массиву результатов измерений. Результаты, соответствующие этим точкам, оценивают как содержащие грубые погрешности и цензурируют, полагая, что они получены ошибочно. Результаты, подозрительные на наличие промахов, но вызывающие сомнения, оставляют для последующего статистического отбраковывания, которое выходит за пределы анализа точечных диаграмм.

Если не наблюдается резко выпадающих из общей тенденции отклонений (результатов с грубыми погрешностями), то через самые удаленные от аппроксимирующей линии точки (максимальные отклонения «в плюс» и «в минус») проводят эквидистанты аппроксимирующей линии. Расстояние между ними вдоль оси ординат в масштабе точечной диаграммы равно размаху отклонений R, и рассматривается как одна из характеристик случайной составляющей погрешности анализируемой серии.

Проведенные на точечной диаграмме аппроксимирующая линия и эквидистанты позволяют количественно оценить не только размахи отклонений R' (общий размах результатов измерений) и R (размах частично исправленных результатов измерений), но и другие параметры и характеристики точечной диаграммы, включая изменение прогрессирующей составляющей в серии результатов (приращение а в пределах серии), амплитуду А или удвоенную амплитуду 2А периодической составляющей, а также ее ориентировочный период Т в числах (номерах) наблюдений.

Точечная диаграмма в определенных случаях позволяет высказать некоторые суждения не только о сходимости результатов в серии, но и о правильности измерений, поскольку устойчивая тенденция изменения результатов измерений свидетельствует о наличии в них переменной систематической погрешности. Анализ точечных диаграмм позволяет делать логически обоснованные предположения об изменении условий измерений в самом широком понимании этого термина. Например, наличие прогрессирующей тенденции в серии измерений может быть связано с закономерным изменением одной или нескольких влияющих величин, накапливающейся усталостью оператора, накапливающимся воздействием чувствительного элемента на объект измерений. Предположения об износе элементов измерительной цепи средства измерений, как правило, неправомочны, поскольку существенный износ деталей прибора при проведении нескольких десятков или даже сотен измерений может наблюдаться только у особо неудачных конструкций или отдельных экземпляров средств измерений.

Ниже приведены точечные диаграммы (рисунок 7.5), на основании которых проведен анализ результатов измерений каждой из проведенных серий и примеры гипотетических высказываний о возможных причинах характерных особенностей результатов в сериях.

Точечная диаграмма на рисунке 7.5а имеет явно выраженную тенденцию монотонного убывания значений, что свидетельствует о наличии в серии прогрессирующей погрешности (тенденция изменения отражена аппроксимирующей прямой). Результат nj цензурируется как результат с грубой погрешностью – он явно выпадает из общей тенденции, несмотря на то, что его значение близко к значениям в начале серии. Возможные причины появления этого результата – ошибка оператора (промах при манипулировании или при отсчитывании) либо сбой в работе прибора.

Особенностью точечной диаграммы на рисунке 7.5б  является очевидное наличие двух участков 1 и 2, каждый из которых не имеет явно выраженной тенденции изменения результатов. Резкое (скачкообразное) изменение результатов между участками 1 и 2 свидетельствуют о фактическом изменении условий измерений в серии в широком смысле этого термина (возможно, произошло незамеченное изменение влияющей величины, изменилась измеряемая величина, был заменен оператор или случилось некое иное событие), результатом чего стало получение двух серий вместо одной.

Скачкообразное изменение результатов позволяет высказать несколько предположений: возможно, был перерыв в работе, за время которого изменились условия измерений (одна или несколько влияющих величин), могло произойти мгновенное изменение настройки (сбой настройки) прибора. В качестве гипотезы можно также рассмотреть возможную «подмену» измеряемой физической величины, то есть фактический переход от одной из номинально одинаковых физических величин к другой, например, из-за незамеченного изменения контрольного сечения (контрольной точки).

Точечная диаграмма на рисунке 7.5в имеет явно выраженную тенденцию немонотонного изменения значений, что может свидетельствовать о наличии в серии периодической (циклической) погрешности. Возможные тенденции изменения результатов отражены двумя аппроксимирующими линиями – сплошной и штриховой, из которых видно, что предполагаемые тенденции примерно вдвое различаются по периоду и амплитудам. Поскольку для достоверных заключений о наличии периодической погрешности, ее амплитуде и предполагаемом периоде наличной информации недостаточно, по возможности следует продолжить серию измерений, при невозможности – высказать предположения, четко оговаривая принятые допущения.

При выполнении нескольких серий многократных измерений одной и той же физической величины с использованием разных методик выполнения измерений весьма эффективно их сопоставление с помощью точечных диаграмм, построенных в одном масштабе. Анализ каждой из серий измерений включает оценку отдельно по каждой серии тенденций изменения результатов измерений и оценки размахов Ri.

Сравнительный анализ результатов нескольких серий измерений одной и той же физической величины позволяет оценить воспроизводимость измерений. Характеристиками воспроизводимости измерений в двух сериях могут быть значения размахов и расхождение средних значений при практическом отсутствии тенденции изменения результатов, поскольку переменные систематические погрешности обязательно приведут к низкой сходимости результатов в серии и воспроизводимости серий. В случае неравноточных МВИ можно получить также предварительную оценку систематических постоянных погрешностей для заведомо менее точной серии. Для оценки систематических постоянных погрешностей серию сравнивают с более точной «опорной» серией, если в ней не наблюдаются явные тенденции изменения результатов.

Сходимость измерений в каждой из серий и между двумя сериями можно оценить по систематическим расхождениям и отклонениям от аппроксимирующих линий (расхождениями текущих средних и размахами), причем возможную сходимость оценивают по размахам после «исправления результатов» (исключения влияния тенденции изменения результатов, если она обнаружена). О правильности измерений можно судить по значениям размахов Ri и по числовым характеристикам тенденций изменения результатов. Можно ожидать высокой правильности только в той серии, в которой размахи минимальны и тенденции изменения результатов практически отсутствуют.

Все характеристики особенно хорошо видны на точечной диаграмме с двумя сериями измерений, оформленными в одном масштабе. Примеры таких точечных диаграмм с элементами анализа приведены на рисунках 7.6 а – 7.6 з.

результатов» (R), средних значений серии наблюдений (X) и истинного значения измеряемой физической величины (Q).

Значения размахов «неисправленных результатов», средние значения каждой из серий и истинные значения измеряемой физической величины на точечных диаграммах не показаны, чтобы не загромождать рисунок. Подробный анализ каждой из диаграмм не проводится, поскольку примеры такого анализа были представлены ранее.

На диаграмме 7.6а представлены две серии без переменных систематических погрешностей (в обеих сериях отсутствуют тенденции изменения результатов), которые можно считать практически равнорассеянными, (поскольку    R1 ≈ R2), но неравноточными (поскольку Х1 ≠ Х2). Неравенство средних значений свидетельствует о том, что либо одна, либо обе имеют постоянные систематические составляющие, значимые по сравнению со случайными составляющими (Х1 – Х2 > R1 ≈ R2).

Серии на диаграмме 7.6б без переменных систематических погрешностей, неравнорассеянные (поскольку R1 ≠ R2) и неравноточные (в них кроме того, что R1 ≠ R2, еще и Х1 ≠ Х2), причем либо в одной, либо в обеих сериях присутствуют постоянные систематические погрешности (если, например, считать Х1 ≈ Q, то Х2 ≠ Q, поскольку Х1 ≠ Х2).

На диаграмме 7.6в показаны серии без переменных систематических погрешностей неравноточные и неравнорассеянные (R1 ≠ R2), причем обе имеют практически одинаковые постоянные систематические составляющие (поскольку Х1 ≈ Х2).

На диаграмме 7.6г представлены две серии без переменных систематических погрешностей, неравнорассеянные (поскольку R1 ≠ R2), причем более грубая серия имеет два характерных участка с различающимися размахами (видно, что R'2 ≠ R 2). Серии неравноточные, поскольку кроме неравенства случайных погрешностей еще и Х1 ≠ Х2, следовательно различны и постоянные систематические погрешности). Одна из серий, либо обе имеют значимые постоянные систематические составляющие (поскольку Х1 ≠ Х2) .

Первая серия на диаграмме 7.6д не имеет переменных систематических погрешностей, у второй – явно выраженная тенденция изменения результатов (значения монотонно убывают, что свидетельствует о наличии прогрессирующей систематической составляющей). Серии неравноточные (R'1 ≠ R'2), но можно графически или аналитически привести их к практически равнорассеянным (поскольку R1 ≈ R2), для чего необходимо исключить из рассмотрения переменную систематическую составляющую второй серии.

На диаграмме 7.6е представлены две серии очевидно неравноточные и неравнорассеянные. Первая серия не имеет переменных систематических погрешностей, у второй явно выраженная прогрессирующая тенденция изменения результатов (значения монотонно возрастают, что свидетельствует о наличии прогрессирующей систематической составляющей).

Две явно неравноточные и неравнорассеянные серии на диаграмме 7.6ж имеют примерно одинаковые прогрессирующие тенденции изменения результатов (однотипные возрастающие значения свидетельствуют о наличии практически одинаковых прогрессирующих систематических составляющих).

На последней диаграмме 7.6з представлены две явно неравноточные и неравнорассеянные серии, одна из которых имеет немонотонную тенденцию изменения результатов (вначале возрастающие, а затем убывающие значения свидетельствуют о наличии систематической составляющей, предположительно циклического характера). Для достоверных заключений о наличии во второй серии периодической погрешности, ее амплитуде и предполагаемом периоде наличной информации недостаточно.