Порядок статистической обработки результатов косвенных измерений можно представить следующим образом:

1. Статистическая обработка результатов прямых измерений и нахождение Xср i и σср i .

2. Расчет искомого значения ФВ (точечной оценки результата косвенных измерений)

Q = f(Xср1, Xср2,..., Xср n).

3. Определение оценки каждой частной погрешности с учетом ее весового коэффициента

EXi =kiσср i ,

где ki = дf/дXi

|Xi = Xi ср.

4. Определение оценки погрешности (среднего квадратического отклонения) результата косвенного измерения. Оценку погрешности результата косвенного измерения рассчитывают с учетом весовых коэффициентов частных погрешностей. При значимой стохастической связи оценка среднего квадратического отклонения (оценка погрешности косвенного измерения) рассчитывается с учетом коэффициента корреляции Rij

___________________________

 ˜           /   n                       n

σQ   = √   Σ (EXi)2 + Σ Rij EiEj    ,

i =1                  i,j =1

Значение коэффициента корреляции Rij можно рассчитать с использованием зависимости

Σ (Xi – Xiср) (Xj – Xjср)

Rij = -------------------------------

n(n – 1) σiσj

При практическом отсутствии корреляции между величинами, получаемыми в результате прямых измерений, что имеет место, например, в независимых измерениях длин для определения объема или длин и массы для расчета плотности

_____________

 ˜           /   n

σQ   = √   Σ (EXi)2

   i =1

5. Определение значения коэффициента Стьюдента t в зависимости от выбранной доверительной вероятности Р и запись результата косвенного измерения в установленной форме

Q = Xjр± tσQi,   Р = 0,...

Формы представления результатов измерений

Общая форма представления результата измерения в соответствии с требованиями МИ 1317–86 включает:

- точечную оценку результата измерения;

- характеристики погрешности результата измерения (или их статистические оценки);

- указание условий измерений, для которых действительны приведенные оценки результата и погрешностей. Условия указываются непосредственно или путем ссылки на документ, удостоверяющий приведенные характеристики погрешностей.

В качестве точечной оценки результата измерения при измерении с многократными наблюдениями принимают среднее арифметическое значение результатов рассматриваемой серии.

Характеристики погрешности измерений можно указывать в единицах измеряемой величины (абсолютные погрешности) или в относительных единицах (относительные погрешности).

Характеристики погрешностей измерений или статистические оценки:

- среднее квадратическое отклонение погрешности;

- среднее квадратическое отклонение случайной погрешности;

- среднее квадратическое отклонение систематической погрешности;

- нижняя граница интервала погрешности измерений;

- верхняя граница интервала погрешности измерений;

- нижняя граница интервала систематической погрешности измерений;

- верхняя граница интервала систематической погрешности измерений;

- вероятность попадания погрешности в указанный интервал.

Рекомендуемое значение вероятности Р = 0,95.

Возможные характеристики погрешностей включают аппроксимации функции плотностей распределения вероятностей или статистические описания этих распределений. Функцию плотностей распределения вероятностей погрешности измерений считают соответствующей усеченному нормальному распределению, если есть основания полагать, что реальное распределение симметрично, одномодально, отлично от нуля на конечном интервале значений аргумента, и другая информация о плотности распределения отсутствует.

Если есть основания полагать, что реальное распределение погрешностей отлично от нормального, следует принимать какую-либо другую аппроксимацию функции плотностей распределения вероятностей. В таком случае принятая аппроксимация функции указывается в описании результата измерений, например: «трап.» (при трапециевидном распределении) или «равн.» (при равновероятном).

В состав условий измерений могут входить: диапазон значений измеряемой величины, частотные спектры измеряемой величины или диапазон скоростей ее изменений; диапазоны значений всех величин, существенно влияющих на погрешность измерений, а также, при необходимости, и другие факторы.

Требования к оформлению результата измерений:

- наименьшие разряды должны быть одинаковы у точечной оценки результата и у характеристик погрешностей;

- характеристики погрешностей (или их статистические оценки) выражают числом, содержащим не более двух значащих цифр, при этом для статистических оценок цифра второго разряда округляется в большую сторону, если последующая цифра неуказываемого младшего разряда больше нуля;

- допускается характеристики погрешностей (или их статистические оценки) выражать числом, содержащим одну значащую цифру, при этом для статистических оценок второй разряд (неуказываемый младший) округляется в большую сторону при отбрасывании цифры младшего разряда равной или больше 5 и в меньшую сторону при цифре меньше 5.

Примеры представления результатов измерений в различных формах:

1. (8,334 ± 0,012) г; Р = 0,95.

2. 32,014 мм. Характеристики погрешностей и условия измерений по РД 50-98 – 86, вариант 7к.

3. (32,010…32,018) мм; Р = 0,95. Измерение индикатором ИЧ 10 кл. точности 0 на стандартной стойке с настройкой по концевым мерам длины 3 кл. точности. Измерительное перемещение не более 0,1 мм; температурный режим измерений ± 2 оС.

4. 72,6360 мм; Δн= – 0,0012 мм, Δв= + 0,0018 мм, Релей; Р = 0,95.

                       о

5. 10,75 м3/с; σ (Δ) = 0,11 м3/с, σ (Δс) = 0,18 м3/с, равн. Условия измерений: температура среды 20 оС, кинематическая вязкость измеряемого объекта 1,5·10 –6 м2/с.

В первом примере использована наиболее часто используемая форма: точечная оценка (8,334 г) с указанием симметричных границ погрешности измерений (± 0,012 г) и доверительной вероятности (0,95), с которой погрешность измерений не выходит за указанные границы. Распределение результатов наблюдений – нормальное (если в описании результата распределение не указано, то по умолчанию подразумевается нормальное распределение). Во втором примере представлена только точечная оценка, остальное определено ссылкой на аттестованную методику выполнения измерений, описанную в соответствующем документе.

В третьем примере точечная оценка и границы погрешности измерений не указаны, представлены границы интервала, который с выбранной доверительной вероятностью (0,95) накрывает истинное значение измеряемой величины. Отличительной особенностью четвертого примера является асимметричное распределение случайных погрешностей. Поэтому кроме точечной оценки (72,6360 мм) указаны асимметричные границы погрешности измерений – 0,0012 мм и + 0,0018 мм и вид распределения, поскольку он отличен от нормального. В описание результата включено и значение доверительной вероятности (0,95), с которой погрешность измерений не выходит за указанные границы. В пятом примере значение доверительной вероятности не указано, что можно рассматривать как формальное несоответствие требованиям обеспечения единства измерений. Однако противоречие не принципиальное, а скорее кажущееся, поскольку переход к оценке границ областей рассеяния случайной и неисключенной систематической составляющих погрешности измерений требует выбора доверительной вероятности. Расчет осуществляется через коэффициент Стьюдента t, а его значение зависит от числа степеней свободы и от выбранной доверительной вероятности, которая должна быть одинакова для обеих составляющих (случайной и неисключенной систематической составляющих погрешности). В качестве комментария следует сказать, что такая полная форма годится только для экзотических исследовательских ситуаций и непрактична в производственном употреблении, для которого желательна комплексная оценка погрешности измерения, например, полученная в результате компонирования двух описывающих составляющие погрешности функций в соответствии с ГОСТ 8.207. Можно предложить графическую интерпретацию результата измерений на числовой оси физической величины. Тогда для первого из приведенных примеров (8,334 ± 0,012) г; Р = 0,95 результат выглядит как показано на рисунке 8.1.

На оси физической величины Q указаны точечная оценка результата измерений (8,334 г) и границы погрешности (± 0,012) г. Для представления доверительной вероятности проводим ось ординат (ось плотности вероятности р) из точки, соответствующей точечной оценке результата измерений, и строим в полученной системе координат кривую нормального распределения результатов или погрешностей измерений. Из рисунка видно, что для увеличения доверительной вероятности (заштрихованной площади) Р необходимо расширить зону между границами погрешности измерений ± Δ. При фиксированном значении σ этого можно добиться только за счет увеличения коэффициента Стьюдентаt. Зона между зафиксированными предельными значениями Х – Δ и Х + Δ с выбранной доверительной вероятностью Р накрывает истинное значение измеряемой физической величины, но поскольку фактически результат измерений представлен не в виде единичного значения, а как числовой интервал, принято говорить о «неопределенности измерений».